T.P. 4 Résolution d’équations différentielles

Méthode d’Euler

Objectif : ¤ utiliser la méthode numérique itérative d’Euler pour résoudre une équation différentielle.

On se propose de comparer les chutes verticales, sans vitesse initiale, d’une bille métallique dans un fluide visqueux et dans l’air.

Données : ¤ rayon de la bille : R = 10,0 mm ;

¤ masses volumiques : r_met = 7,80.10³ kg.m^-3 ; r_flui = 1,26.10³ kg.m^-3 ; r_air = 1,3 kg.m^-3 ;

¤ coefficient de viscosité du fluide visqueux : h = 1,5 N.s.m^-2 ;

¤ accélération de la pesanteur : g = 9,81 m.s^-2.

Dans chaque cas, pour répondre aux questions, il faut :

- faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à la bille ;

- utiliser la deuxième loi de Newton pour établir l’équation différentielle du mouvement ;

- utiliser la méthode d’Euler pour déterminer la valeur de la vitesse limite de chute, pour tracer le graphe v = f(t) et pour déterminer le temps caractéristique de la chute.

I ] Chute dans un fluide visqueux

La vitesse restant faible, la force de frottement a pour expression : f = 6pRhv.

1) Etablir l’équation différentielle du mouvement et vérifier qu’elle peut-être mise sous la forme suivante :

a_z = dv_z / dt = 8,2 – 8,7 v_z

2) A la date t_n, connaissant les valeurs de v_z et de z, on peut dons calculer a_z(t_n) = 8,2 – 8,7 v_z(t_n). On choisit une durée Dt (pas de l’itération) suffisamment petite de sorte que l’on puisse confondre dv_z / dt avec Dv_z /Dt et on pose l’itération suivante : v_z(t_n+1) = v_z(t_n) + Dt.a_z(t_n).

Par exemple, pour n = 0, v_z(1) = v_z(0) + Dt.a_z(t₀) = 0 + Dt.8,2 car v_z(o) = 0 ; … etc

Quelle est la valeur à inscrire dans la case B2 ?

Quel est le pas de l’itération choisi ?

Justifier les formules de la ligne 3.

Comment remplir les lignes suivantes du tableau.

Un tableur permet de mettre en œuvre la méthode d’Euler.

	A	B	C
1	Temps (s)	Accélération (m.s^-2)	Vitesse (m.s^-1)
2	0		0
3	= A2 + 0,02	= 8,2 – 8,7xC3	= B2 x 0,02 + C2
4

3) Quelle est la valeur de la vitesse limite v_l ?

4) Construire le graphe v_z(t) = f(t), en déduire le temps caractéristique de la chute.

II ] Chute dans l’air

La vitesse étant plus élevée, la force de frottement a pour expression : f = 0,5C_xrSv², où C_x est un coefficient de valeur 0,44 unité S.I, S est la section maximale de la bille S = pR² et r la masse volumique de l’air.

1) Etablir l’équation différentielle du mouvement et vérifier qu’elle peut-être mise sous la forme suivante :

a_z= dv_z / dt = g – 2,7.10^-3v_z²

Quelle force a-t-on négligé, pourquoi ?

2) Utiliser la méthode d’Euler pour résoudre cette équation différentielle, prendre un pas Dt = 0,5s.

3) Quelle est la valeur de la vitesse limite obtenue ?

4) Construire le graphe v_z = f(t).

t (s)

a (m.s-2)

v (m.s-1)

0

8,2

0

0,02

6,7732

0,164

0,04

5,5946632

0,299464

0,06

4,6211918

0,41135726

0,08

3,81710443

0,5037811

0,1

3,15292826

0,58012319

0,12

2,60431874

0,64318175

0,14

2,15116728

0,69526813

CHUTE VERTICALE DANS UN

FLUIDE VISQUEUX :

Résolution de l'équation différentielle :
a = 8,2 - 8,7 v par la méthode d'Euler.

0,16

1,77686417

0,73829147

0,18

1,46768981

0,77382876

0,2

1,21231178

0,80318255

0,22

1,00136953

0,82742879

0,24

0,82713123

0,84745618

0,26

0,6832104

0,8639988

0,28

0,56433179

0,87766301

0,3

0,46613806

0,88894965

0,32

0,38503004

0,89827241

0,34

0,31803481

0,90597301

0,36

0,26269675

0,91233371

0,38

0,21698752

0,91758764

0,4

0,17923169

0,92192739

0,42

0,14804538

0,92551203

0,44

0,12228548

0,92847293

0,46

0,10100781

0,93091864

0,48

0,08343245

0,9329388

0,5

0,0689152

0,93460745

0,52

0,05692396

0,93598575

0,54

0,04701919

0,93712423

0,56

0,03883785

0,93806461

0,58

0,03208006

0,93884137

0,6

0,02649813

0,93948297

0,62

0,02188746

0,94001294

0,64

0,01807904

0,94045069

0,66

0,01493329

0,94081227

0,68

0,0123349

0,94111093

0,7

0,01018862

0,94135763

0,72

0,0084158

0,9415614

0,74

0,00695145

0,94172972

0,76

0,0057419

0,94186875

0,78

0,00474281

0,94198359

0,8

0,00391756

0,94207844

0,82

0,00323591

0,94215679

0,84

0,00267286

0,94222151

0,86

0,00220778

0,94227497

0,88

0,00182363

0,94231912

0,9

0,00150632

0,9423556

0,92

0,00124422

0,94238572

0,94

0,00102772

0,94241061

0,96

0,0008489

0,94243116

0,98

0,00070119

0,94244814

1

0,00057918

0,94246216

t (s)	a (m.s-2)	v (m.s-1)
0	9,81	0
0,5	9,74504063	4,905
1	9,55188026	9,77752032
1,5	9,23813133	14,5534604
2	8,81751845	19,1725261
2,5	8,30859205	23,5812853
3	7,73299132	27,7355814
3,5	7,11353356	31,602077	CHUTE VERTICALE DANS L'AIR Résolution de l'équation différentielle : a = 9,81 - 0,0027v² par la méthode d'Euler.
4	6,4724104	35,1588438
4,5	5,82971457	38,395049
5	5,20242743	41,3099063
5,5	4,60389656	43,91112
6	4,04375126	46,2130683
6,5	3,5281535	48,2349439
7	3,06026442	49,9990207
7,5	2,64081529	51,5291529
8	2,26869467	52,8495605
8,5	1,94149177	53,9839079
9	1,65596229	54,9546537
9,5	1,40840364	55,7826349
10	1,19494065	56,4868367
10,5	1,0117311	57,084307
11	0,85510446	57,5901726
11,5	0,72164774	58,0177248
12	0,60825164	58,3785487
12,5	0,51212802	58,6826745
13	0,43080777	58,9387385
13,5	0,36212608	59,1541424
14	0,30420017	59,3352054
14,5	0,2554033	59,4873055
15	0,21433748	59,6150072
15,5	0,1798066	59,7221759
16	0,15079098	59,8120792
16,5	0,12642401	59,8874747
17	0,10597094	59,9506867
17,5	0,08881018	60,0036722
18	0,07441672	60,0480773
18,5	0,06234782	60,0852856
19	0,05223049	60,1164595
19,5	0,04375089	60,1425748
20	0,03664511	60,1644502
20,5	0,03069142	60,1827728
21	0,02570363	60,1981185
21,5	0,02152545	60,2109703
22	0,01802575	60,221733
22,5	0,01509457	60,2307459
23	0,01263969	60,2382932
23,5	0,01058382	60,244613
24	0,00886218	60,2499049
24,5	0,00742047	60,254336
25	0,00621322	60,2580463