T.P4 : Force de frottement : recherche d'un modèle à l'aide de la méthode d'EULER

Objectif

A l'aide de la méthode d'Euler, trouver l'expression de la force de frottement dans le cas d'une chute verticale dans un liquide.

Expérience

1- Enregistrement

- A l'aide d'une Webcam, filmer la chute d'une bille d'acier dans un liquide (glycérol dilué à 25% ou eau). On peut également utiliser les fichiers AVI : Bille_glycerol_dilue ou Bille_eau_pure.

- A l'aide d'un logiciel de pointage (Avimeca, Cinéris, Synchronie…..), repérer les positions du centre d'inertie de la bille aux différentes dates de prise de vue.

2- Traitement

- A l'aide d'un tableur, déterminer les vitesses à ces différentes dates.

- Représenter la variation de la vitesse en fonction du temps.

On constate la présence d'une vitesse limite qui traduit l'influence d'autres forces que le poids (force de frottement, poussée d'Archimède) dont on a déjà parlé.

Recherche de l'équation différentielle qui régit la vitesse.

On a vu que le frottement dépend de la forme, de la vitesse, de la nature du fluide. Les élèves doivent établir l'équation différentielle qui régit la vitesse au cours du mouvement.

- système : bille d'acier

- réf. d'étude : le réf. terrestre supposé galiléen compte tenu de la durée de l'enregistrement.

- bilan des forces exercées sur la bille:

¸ son poids avec

¸ la poussée d'Archimède avec

la masse volumique du fluide.

V, le volume de fluide déplacé

¸ : la force de frottement avec

Appliquons la deuxième loi de Newton:

En projection sur un axe Oz orienté vers le bas

soit

Si la vitesse limite est atteinte, et soit

Résolution de l'équation différentielle

Suivant la valeur de r que l'on choisit, la résolution analytique s'avère difficile c'est à dire qu'il est difficile de trouver l'expression de la vitesse en fonction du temps.

On va résoudre cette équation par une méthode numérique c'est à dire que l'on va calculer les valeurs de la vitesse aux différentes dates. La méthode utilisée est la méthode d'Euler. On peut l'utiliser pour résoudre les équations différentielles, en général..

Elle repose sur l'hypothèse suivante : si est suffisamment petit, alors et peuvent être considérés comme constants pendant l'intervalle

Pour comprendre cette méthode, on va procéder en deux temps. Dans un premier temps, on va utiliser un tableau Excel qui calcule les valeurs de la vitesse aux différentes dates pour ajuster les coefficients a, b et r afin que les valeurs obtenues soient en accord avec les valeurs expérimentales.

Par la suite, on s'appropriera l'algorithme de calcul en effectuant les calculs de quelques vitesses "à la main".

1- Recherche des coefficients a, b, r

- Dans un premier temps les élèves rappellent le fichier EXCEL "Bille_glycerol_eau_eleve".

A l'aide de la fonction Copier-Coller, ils copient dans la colonne V_EXP, les valeurs des vitesses qu'ils viennent de déterminer.

- Ils agissent sur les boutons pour que la courbe issue de la résolution numérique de l'équation différentielle par la méthode d'Euler s'adapte au mieux à la distribution expérimentale.

- Ils relèvent les valeurs des coefficients et notent l'expression de l'équation différentielle et celle de la force de frottement fluide qui semble convenir.

A titre d'exemple, on peut obtenir le résultat figurant dans "Bille_glycerol_eau"

A ce propos, il peut être intéressant de noter que t₀ ¹ 0 si on choisit v₀ = 0. Ceci s'explique par le fait que la date de début de chute de la bille n'est pas connue : elle est comprise entre 0 et 33,3 ms.

2- L'algorithme de calcul.

Algorithme de calcul

- conditions initiales :

- calcul de :

- calcul de à :

- on recommence avec les conditions initiales suivantes:

et

On simule à la main avec les élèves (exemple avec le glycérol dilué):

3- Résolution de l'équation différentielle par la méthode d'Euler

Dt	t0	v0	a	b	r
0,0010	0,017	0,00	8,5	-9,1	1,0

t (s)	Dv/Dt	vEULER (m.s^-1)
0,017		0,00

On termine en comparant la valeur trouvée du coefficient a avec celle calculée à partir des données.

De même pour la vitesse limite.