Le condensateur dans tous ses états (09/2003 Polynésie )

1.1 Vidéo

Relation entre la charge q et le courant I :

Comme I est constant on peut écrire :

Remarque : cette relation n’est valable que dans le cas ou le courant i entre dans la plaque chargé q. Si le courant I sort de la plaque chargée q la relation est :

I = 12 x 10^-6 A ; t = 3,0 s ;

1.2 Vidéo

q = C.u_AB ; la charge est proportionnelle à la tension u_AB.

La pente de la droite représentant la fonction q = f(u_AB) est égale à la valeur de la capacité du condensateur. Pour la calculer on prend 2 points de la droite :

M1( u_AB1 = 0V ; q1 = 0 C) M2 (u_AB2 = 11V; q2 = 51 x 10^-6 C). On applique la formule donnant le coefficient directeur ou pente de la droite.

1.3 La valeur de la capacité C du condensateur est comprise dans l’intervalle suivant :

La valeur trouvée est bien en accord avec la tolérance fournie par le constructeur.

2.1 Vidéo

D’après la loi d’additivité des tensions :

E= Ri+u_c

i = dq/dt = d(C.u_c)/dt =C.du_c/dt

2.2 Vidéo

u_C = A(1 – e ^{– a.t} ); du_c/dt = A.a.e^-at

On réinjecte ces expressions dans l’équation obtenue au 2.1

E = RC. A.a.e^-at + A(1 – e ^{– a.t} ) = RC. A.a.e^-at + A –A.e^-at

E = A.e^-at ( RC.a -1) + A L’expression doit être vraie quelque soit t :

RC.a -1 = 0 donc a = -1/RC et E = A

2.3

u_c = E (1-e^-at)) . Quand t tend vers l’infini on se trouve en régime permanent. u_c tend vers E.

D’après la courbe u_c(¥) = E = 5 V

2.4 La constante de temps t est égale au produit de la résistance de charge R par la capacité du condensateur C.

A t = t , u_c (t) = 0,63 x E = 0,63 x 5 = 3,15 V.

Le point M d’ordonnée u_c = 3,15 V à pour abscisse t = t = 0,01 s.

t = R.C ; C = t/R = (0,01) / (2,2 x 10³) = 4,5 x 10^-6 F

2.5 Vidéo

Equation de la décharge :

u_c = -R’.i

u_c + R’.dq/dt = 0

u_c + R’C.du_c/dt = 0

2.6 Pour la charge : t = R.C = 0,01 s

Pour la décharge t' = R'.C = 10.10³ ´ 4,7.10^–6 = 0,047 s

La durée de la décharge du condensateur est supérieure à celle de la charge. Proposition VRAIE.