Analogies electromécaniques
(Pondichéry 2006 ; 5 points) énoncé
1
Oscillateur mécanique
1.a - Etude mécanique :
système : solide (S)
référentiel : terrestre
supposé galiléen.
forces agissent sur (S):
*le poids 
direction :
verticale
sens ; vers le
centre d’inertie de la terre
norme P= mg
point
d’application : centre d’inertie G de l’objet (bon tout
ça n’est pas demandé, mais quand quelqu’un vous
demande l’heure ce n’est parfois pas uniquement pour ça)
*la réaction
normale du support 
,
direction verticale sens vers le haut
Quand il n’y a pas de frottement la direction
est perpendiculaire au plan
* la force de rappel du ressort 
:
‘x’
abscisse du centre d'inertie G du solide ET K RAIDEUR DU RESSORT.
1.b - Vidéo.
Seconde loi de Newton appliquée au solide
(S) :
+
+ = m.
Pas de mouvement
sur l’axe verticale :
On projette sur l’axe horizontale :
0 + 0 – k.x = m.ax
1.c
- Vidéo
dx/dt= – (A.2.p)/T.(sin(2pt/T+ j)
d2x/dt2
= – A.(2.p/T)2.cos(2pt/T+ j)
En
reportant dans l'équation différentielle:
–m. (2.p/T)2.x(t) +
k.x(t) = 0
x(t).
[– m. (2.p/T)2+
k] = 0
La
solution est vraie quelque soit la valeur de ‘t’ par
conséquent comme x(t) varie
– m. (2.p/T)2+
k = 0
T = 2.p.(m/k)1/2
x(t) est solution de l'équation
différentielle si T = 2.p.(m/k)1/2
Le rapport m/k
s'exprime en s².
T est la période propre de
l'oscillateur mécanique.
A.N.
1.d Vidéo
Conditions initiales :
x(0) =
Xo = +
x(0) = Xo = A.cos(j)
vx(0) = 0
(dx/dt)O =0 = – (A.2.p/T).sin(j)
sin(j)
= 0 Û j
= 0 ou j
= p
à t = 0 Xo >0 et on prend A
> 0
donc cos(j)
> 0 : la seule solution possible est alors: j = 0 (car cos(p) = – 1)
x(t) = Xo.cos(2pt/T)
2
Oscillateur électrique
2.a
– En identifiant les deux équations différentielles on peut
faire les correspondances suivantes entre les grandeurs mécanique et
électrique:
|
|
grandeur
mécanique |
grandeur
électrique |
|
Equation
différentielle du second ordre |
m.d2x/dt2
+ k.x = 0 |
|
|
Masse/inductance |
m |
L |
|
Elongation/charge |
x(t) |
q(t) |
|
Raideur/inverse de la
capacité |
k |
1 / C |
L’intensité
du courant i(t) =dq(t)/dt
La grandeur
mécanique correspondant à l'intensité instantanée
est la vitesse instantanée:
vx (t) = dx(t)/dt
2.b D’après le tableau précédent : m
Û
L ; 1 / k Û
C:
Oscillateur mécanique x(t) = Xo.cos(2.p.t/T)
Oscillateur
électrique q(t) = Qo.cos(2.p.t/T’)
Périodes
propres:
Oscillateur mécanique 
Oscillateur électrique 
. 
A.N.
3- Graphes :
x(t) =X0.cos(2p.t/T)
q(t) = Q0.cos(2pt/T’)
4 - Oscillateur
mécanique : l’amplitude des élongations diminue
à cause des forces de frottement
du solide sur le support et du solide en interaction avec l’air:
De
l'énergie mécanique est dissipée sous forme de chaleur
à cause des frottements.
Oscillateur
électrique, la résistance de la bobine n'est pas nulle. De
l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine
est dissipée sous forme de chaleur par effet Joule.
Cette
énergie dE perdue par effet joule pendant une durée dt à
pour expression :
dE
= ½.R(bobine).i2dt