Mines d’Albi 2001 : comment éviter les catastrophes

EXERCICE C : MISE SUR ORBITE D'UN SATELLITE

Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, un satellite, de masse m = 400 kg, assimilé à un point matériel P est en orbite autour de la Terre de masse M = 6,00.10²⁴ kg et supposée sphérique de rayon R = 6400 km.

On note G la constante de gravitation universelle de valeur : G = 6,67.10^-11m³.s^-2.kg^-1, et on pose k = GmM .

La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est donnée par la relation : dans laquelle r est la distance entre le centre O de la Terre et le point P et le vecteur unitaire dirigé de O vers P, on néglige toute force de freinage due à l'atmosphère terrestre.

1- Déterminer, à partir de l'expression de la force gravitationnelle, celle de l'énergie potentielle E_p du satellite dans le champ de gravitation terrestre en fonction de k et de r, cette énergie potentielle étant nulle "à l'infini".

2- Le satellite décrit, autour du centre de la Terre, une orbite circulaire à l'altitude h telle que h = a.R .

a) A partir de la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l'expression littérale de sa vitesse V₀ en fonction de G, M, R et a puis calculer sa valeur numérique si a = 5,00.10^-2

b) En déduire l'expression littérale de l'énergie mécanique en fonction de k, R et a puis calculer sa valeur numérique si a = 5,00.10^-2.

3- On ne se limite plus à l'étude d'une trajectoire circulaire.

a) Démontrer que le moment cinétique du satellite par rapport au centre O de la Terre est constant. En déduire que la trajectoire est plane.

b) La position du satellite est repérée, dans le plan de la trajectoire par ses coordonnées polaires r et q. Exprimer, dans ce système de coordonnées, le module s du moment cinétique du satellite.

4- On suppose à présent que le satellite décrit l'ellipse d'équation polaire dans laquelle le paramètre p et l'excentricité e sont des termes constants positifs.

a) En déduire, en fonction de p et de e, la valeur minimale et la valeur maximale de r puis la valeur du demi-grand axe a de l'ellipse.

b) Démontrer que l'énergie mécanique du satellite est donnée par l'expression E = .

Rappels : La constante des aires C étant définie par la relation : C = ,

- la première formule de Binet, permettant le calcul de la vitesse V, s'écrit : V² = C² ( u² + u'²) dans laquelle et

- le paramètre p de la trajectoire elliptique a pour valeur : p = .

5- Le satellite étant situé en un point P d'altitude h = a.R avec a = 5,00.10^-2, on lui communique une vitesse perpendiculaire au rayon-vecteur et de valeur : V = b V₀, en notant toujours V₀ la valeur qui lui permettrait de décrire une orbite circulaire. Calculer, d'abord sous forme littérale puis en effectuant les applications numériques, entre quelles valeurs doit être compris b si l'on veut éviter que le satellite s'écrase sur le sol, mais aussi qu'il échappe définitivement à l'attraction de la Terre.