SATELLITES ( ATS 99 )

I ‑ Propriétés générales de la trajectoire

Un satellite artificiel, S, assimilable à point matériel de masse m, évolue librement à grande distance de la Terre. La Terre est considérée comme un corps immobile, rigoureusement sphérique et homogène, de rayon R, de masse M et de centre O.

On désigne par , le vecteur position du satellite et par son vecteur vitesse.

A l'instant initial , le satellite se trouve dans la position , animé de la vitesse , non radiale.

L'influence de la Lune, du Soleil, des autres planètes, ainsi que celle de l'atmosphère sont ignorées.

On étudie la situation pour t > 0.

A1.1. Donner l'expression vectorielle du champ de force auquel est soumis le satellite.

- On désignera par G la constante de gravitation universelle et par u le vecteur unitaire radial -

S'agit‑il d'un champ de force central ?

A1.2. Définir le vecteur moment cinétique J du satellite, par rapport au centre O.

A1.3. Montrer que, quel que soit , le moment cinétique J du satellite est constant, égal à une

valeur . Expliciter .

A1.4. Justifier le fait que la trajectoire suivie par le satellite, pour t ~~ 0, est entièrement contenue dans

un plan fixe P, que l'on précisera.

Il ‑ Etude du mouvement plan. Aspects dynamiques et énergie

On reprend les hypothèses de la section I ci‑dessus, en se plaçant dans le plan P de la trajectoire. Ce plan est rapporté aux coordonnées polaires de centre O et de base locale . - et sont respectivement le vecteur unitaire radial et le vecteur unitaire orthoradial ‑.

A2.1. Montrer que le principe fondamental de la dynamique, appliqué au satellite, conduit à

l'équation différentielle :

Que représente le terme ?

A2.2. Déduire de l'équation différentielle précédente que le mouvement du satellite vérifie une relation de la forme : cste.

Déterminer l'exposant n, et relier la constante C au moment cinétique, J, du satellite par rapport au centre de la Terre et à sa masse m .

A2.3. Exprimer l'aire, dA, balayée par le rayon‑vecteur r durant l'intervalle de temps dt.

Montrer que l'aire A balayée par le rayon‑vecteur durant un intervalle de temps est proportionnelle à , le facteur de proportionnalité étant le même quel que soit (seconde loi de Kepler). Pour cela, on identifiera le facteur .

On note respectivement U(r) et K(r) l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du satellite dans la position courante r, et respectivement et , ces mêmes énergies à l'instant initial.

A2.4. En adoptant la convention : à l'infini, justifier physiquement le fait que l'énergie potentielle de gravitation U(r) est négative quelle que soit la distance r, finie.

A2.5. Partant de la position r, le satellite effectue un déplacement élémentaire dr le long de sa trajectoire.

Relier les variations dU(r) et dK(r) de l'énergie potentielle et cinétique observées au cours de ce déplacement, au champ de force F(r).

De quelle propriété jouit la somme: E(r) = U(r) + K(r) ?

A2.6. A quelle condition liant et, le satellite reste‑t‑il en orbite autour de la Terre (état lié) ? Quelle est alors la nature de la trajectoire suivie par le satellite ?

‑ On donnera ces deux résultats sans les démontrer ‑.

III ‑ Satellite géostationnaire

La Terre tourne sur elle‑même, autour de sa ligne des pôles, à la vitesse angulaire . On ne considère pas son mouvement de révolution autour du Soleil.

Le satellite évolue maintenant de façon géostationnaire¹, c'est‑à‑dire qu'il tourne de façon synchrone avec la Terre sur une orbite circulaire de rayon , située dans le plan équatorial.

A3.1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique au satellite, déterminer l'expression du rayon , de l'orbite géostationnaire, en fonction de G, M et .

A3.2. Donner l'expression de l'énergie potentielle de gravitation U(r) du satellite, lorsqu'il se situe à

une distance r, quelconque, du centre de la Terre.

On exprimera U(r) en fonction de G, M, m et r, en retenant la condition : U = 0 à l'infini.

A3.3. Exprimer l'énergie mécanique totale du satellite sur son orbite géostationnaire, en fonction de G, M, m et .

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¹ « géostationnaire » signifie immobile pour un observateur terrestre.

A3.4. Le satellite a été lancé à partir d'une base terrestre située sur l'équateur (Kourou [Guyane]).

Déterminer l'énergie minimale, , qu'il a fallu dépenser pour le placer sur orbite géostationnaire.

‑ On ne tient pas compte ici des frottements dans l'atmosphère, pas plus que de l'énergie dépensée pour propulser la fusée porteuse, hors satellite ‑.

A3.5.Exprimer la différence, , entre l'énergie minimale de lancement sur orbite géostationnaire à partir d'une base équatoriale et à partir d'une base située à la latitude géographique .

Est‑il, sur le plan énergétique, préférable d'effectuer les lancements depuis la base de Kourou () ou du Cap Canaveral [Floride] () ?