Volume d'une sphère de rayon R:
On lâche une bille
sphérique initialement au repos dans l'air. La position initiale de son centre
d'inertie G est yo=0. On oriente l'axe (O,y) vers le bas.
L'intensité du champ de pesanteur terrestre est : g = 9,80 N.kg-1. Masse
volumique de l'air m f =
1,29kg.m-3. La masse de la bille est notée 'm' ; Rayon de la bille Rb
= 10mm. Masse volumique de la
bille(en fer) mB = 7,80.103 kg.m-3. Le frottement entre la bille et
l'huile est de type turbulent. La force de frottement
est :
k: coefficient de
frottement turbulent .
: vecteur
vitesse du centre d'inertie de la bille, vy coordonnée du vecteur
vitesse du centre d'inertie de la bille sur l'axe des y .
La masse de fluide
déplacée par la bille sera notée mf
On néglige dans un
premier temps la force de frottement.
a). Calculer le rapport
entre la norme P du poids de la bille, et la norme de la poussée d'Archimède auquel est soumise
la bille dans l'air. On rappelle que la poussée d'Archimède est égale au poids
du volume de fluide déplacé. Conclusion
b) Faire l'étude
mécanique du système, en précisant le système, le référentiel d'étude, le
repère et le bilan des forces
extérieures au système en tenant compte des simplifications de la question Q1
a)
a) Donner la loi
permettant de déterminer l'accélération du centre d'inertie de la bille sur
l'axe des y, ay(t)
b)En déduire les
équations horaires du mouvement ay(t), vy(t) et y(t) en
tenant compte des conditions initiales, dans le cas de la chute libre
verticale.
c) De quel type de
mouvement s'agit-il?
a) On tient maintenant
compte de la force de frottement. La poussée d'Archimède sera négligé. Etablir
l'expression de l'équation différentielle en vz (coordonnée du
vecteur vitesse du centre d'inertie de la bille sur l'axe (O,z) ).
b) Mettre l'équation
différentielle précédente sous la forme suivante, en faisant apparaître les
masses volumiques de la bille et du fluide.
On précisera l’expression
et l’unité de k1
c) A l'aide l'équation
différentielle déterminer l'expression littérale de la vitesse limite vz(lim).
a) On relève les valeurs
des altitudes z au cours du temps. En déduire d'après les résultats obtenus la
méthode employée pour déterminer les valeurs des vitesses vz(t) au
cours du temps.(3,30E-2=3,3.10-2)
t(s) |
z(m) |
v(m.s-1) |
0 |
0 |
0 |
3,30E-02 |
1,36E-03 |
1,65E-01 |
6,60E-02 |
1,09E-02 |
4,14E-01 |
9,90E-02 |
2,87E-02 |
5,17E-01 |
1,32E-01 |
4,50E-02 |
5,98E-01 |
1,65E-01 |
6,82E-02 |
7,24E-01 |
1,98E-01 |
9,28E-02 |
7,85E-01 |
2,31E-01 |
1,20E-01 |
9,12E-01 |
2,64E-01 |
1,53E-01 |
9,55E-01 |
2,97E-01 |
1,83E-01 |
9,85E-01 |
3,30E-01 |
2,18E-01 |
1,02E+00 |
3,63E-01 |
2,50E-01 |
1,02E+00 |
3,96E-01 |
2,85E-01 |
1,02E+00 |
4,29E-01 |
3,17E-01 |
1,02E+00 |
4,62E-01 |
3,52E-01 |
1,05E+00 |
4,95E-01 |
3,86E-01 |
1,03E+00 |
Tracer vz(t).
b) Quels sont les 2
régimes visibles sur la courbe ?
c) Déduire du graphique
la valeur de la vitesse limite et du temps caractéristique .