Chapitre 10 : chute verticale

Chute d'une bille dans l'huile.

On lâche une bille sphérique initialement au repos dans un cylindre contenant de l'huile. La position initiale de son centre d'inertie G est z_o=0. On oriente l'axe (O,z) vers le bas. Une caméra enregistre la chute, on fixe le nombre d'images par seconde à 30. On relève, en faisant défiler le film image par image, la position de G au cours du temps. A l'altitude z_o correspond l'instant t_o =0 s. L'intensité du champ de pesanteur terrestre est : g = 9,80 N.kg^-1. Masse volumique de l'huile m _f = 860 kg.m^-3. Masse de la bille, m_b = 36,7g ; Rayon de la bille R_b = 12,5 mm. Masse volumique de la bille mm_B = 4,49.10³ kg.m^-3. Le frottement entre la bille et l'huile est de type laminaire. La force de frottement est :

h: coefficient de frottement laminaire.

: vecteur vitesse du centre d'inertie de la bille.

La masse de fluide déplacée par la bille sera notée m_f.

Q1

a) Qu'est ce qu'un champ de pesanteur uniforme ?

b) Donner l'expression du vecteur poids de la bille, ainsi que ses 4 caractéristiques.

c) Faire l'étude mécanique du système, en précisant le système, le référentiel d'étude, le repère et le bilan des forces extérieures au système (sans donner l'expression littérale des vecteurs force).

d) Donner l'expression puis calculer la valeur de la poussée d'Archimède 'P' sur la bille. Peut-on négliger la poussée d'Archimède devant le poids ?

Q2

a) Etablir l'expression de l'équation différentielle en v_z (coordonnée du vecteur vitesse du centre d'inertie de la bille sur l'axe (O,z) ).

b) Mettre l'équation différentielle précédente sous la forme suivante, en faisant apparaître les masses volumiques de la bille et du fluide.

On précisera les expressions de k1, et k2.

c) Déterminer les unités de k1 et k2.

Q3

a) A l'aide de l'équation différentielle déterminer l'expression littérale de la vitesse limite v_z(lim).

b) Même question pour le temps t caractéristique du système.

Q4

a) On relève les valeurs des altitudes z au cours du temps. En déduire d'après les résultats obtenus la méthode employée pour déterminer les valeurs des vitesses v_z(t) au cours du temps.(3,30E-2 = 3,3.10^-2 )

t(s)	z(m)	v(m.s^-1)
0	0	0
3,30E-02	1,36E-03	1,65E-01
6,60E-02	1,09E-02	4,14E-01
9,90E-02	2,87E-02	5,17E-01
1,32E-01	4,50E-02	5,98E-01
1,65E-01	6,82E-02	7,24E-01
1,98E-01	9,28E-02	7,85E-01
2,31E-01	1,20E-01	9,12E-01
2,64E-01	1,53E-01	9,55E-01
2,97E-01	1,83E-01	9,85E-01
3,30E-01	2,18E-01	1,02
3,63E-01	2,50E-01	1,02
3,96E-01	2,85E-01	1,02
4,29E-01	3,17E-01	1,02
4,62E-01	3,52E-01	1,05
4,95E-01	3,86E-01	1,03

b) Tracer v_z(t).

c) Quels sont les 2 régimes visibles sur la courbe ?

Q5

a) Déduire du graphique la valeur de la vitesse limite et du temps t caractéristique.

b) A l'aide de l'équation différentielle déterminer l'expression littérale du coefficient de frottement h, puis calculer sa valeur.