DE L’INFLUENCE DES CONDITIONS INITIALES SUR LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME (11/2003 Nouvelle Calédonie 5,5 pts)

Partie 1 : Un système physique

Pendant son entraînement, un golfeur cherche à envoyer directement la balle dans le trou se trouvant sur le green. Pour cela, il doit faire passer la balle au dessus d'un petit plan d'eau
se trouvant entre lui et le green (voir figure 1). On néglige tout mouvement de rotation de la balle sur elle-même. Il fait varier séparément des caractéristiques du vecteur vitesse initiale de la balle. Dans cette étude la vitesse atteinte par la balle étant faible, on considère comme négligeables les frottements de l'air dans tout l'exercice. A l'aide de la deuxième loi de Newton, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on peut établir les équations horaires du mouvement de la balle ainsi que l'équation de sa trajectoire dans le repère (O, x, y).On appelle portée du lancer la distance D atteinte par la balle lorsqu'elle retombe sur le sol(sur le même plan horizontal que le point de départ) et flèche du lancer la hauteur maximale H atteinte par la balle pour une abscisse égale à D/2 (voir figure 1). On montre que leurs expressions respectives sont :

1. Exprimer les coordonnées v_ox et v_oy vecteur vitesse initiale dans le repère (O,x, y).

2. Exprimer la portée D et la flèche H en fonction de l'une ou des coordonnées du vecteur vitesse initiale .

3. Le golfeur réussit son coup pour un vecteur vitesse initiale . Il rejoue maladroitement le coup avec une vitesse initiale égale à (voir figure 2 de l'annexe). Exprimer les nouvelles valeurs D₁ et H₁ de la portée et de la flèche en fonction de D et H. Dessiner l'allure de la nouvelle trajectoire sur la figure 2 de l'annexe À RENDRE AVEC LA COPIE.

4. Il envoie la balle en conservant le même angle de tir a mais en frappant plus fort. Prévoir qualitativement (sans calcul) les conséquences sur la portée et la flèche de ce nouveau tir.

5. Effectuer l’étude mécanique du problème et en déduire les équations horaires du mouvement. On négligera la poussée d’Archimède et les forces de frottement.

6. Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire.

7) Quelle est l’expression de la vitesse du projectile en fonction du temps ?

8) Donner les coordonnées de la vitesse au sommet de la trajectoire. Exprimer l’instant ‘t’ lorsque la balle atteint le sommet de la trajectoire.

ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE