Chapitre 14 : oscillateur mécanique horizontal
Elle
a fait la une de l'actualité lors de son lancement commercial : elle était en
effet présentée
comme « la voiture à 5000 euros ». Même si son prix fut finalement plus élevé
que prévu, les journalistes automobiles étaient impatients d'évaluer cette
voiture d'un nouveau genre.
L'exercice
propose de détailler certains tests routiers effectués par les essayeurs d'un
magazine automobile et d'étudier un composant du système d'alimentation en
gazole du moteur Diesel qui peut équiper
Donnée
: Accélération de
la pesanteur: g =
Les parties A et B sont indépendantes.
PARTIE
A: Performances et comportement routier
Les
paragraphes I, II et III sont indépendants.
Le
test consiste à faire passer la voiture, en pleine accélération et sur le
deuxième rapport de la boîte de vitesses, de
Résultat
du test d'accélération donné par le magazine: «passage de
5,4 s ».
1.
Le vecteur accélération est supposé constant pendant tout le mouvement ; sa
norme est
notée a1. Le schéma ci-dessous donne les différentes conventions
utilisées. L'origine des temps est choisie à l'instant où le centre d'inertie G
du véhicule passe au point O avec la vitesse
v0 =
a) Donner la relation entre le
vecteur accélération et le vecteur vitesse du centre d'inertie G
du véhicule. En déduire l'équation horaire de la vitesse du centre d'inertie du
véhicule v(t) en fonction de a1, v0 et t.
b) En utilisant le résultat du test d'accélération,
montrer que la valeur de l'accélération a1 du véhicule en unité SI
est : a1 =
2. a)
Établir l'équation horaire de la position x(t) du centre d'inertie G en
fonction des grandeurs de l'énoncé.
b) En déduire la distance D parcourue par
Un second test consiste à
faire décrire à la voiture une trajectoire circulaire de rayon R =
Une
chronophotographie (en vue de dessus) représentant les positions successives du
centre d'inertie G de
1. a)
Exprimer les normes des vitesses v3 et v5 du centre
d'inertie G aux points G3 et G5 en fonction des distances
G2G4, G4G6 et de la durée t.
b) En utilisant la figure 1 montrer que ces vitesses v3
et v5 ont la même valeur d'environ
40 km.h-1.
c) Représenter les vecteurs vitesse 3 et 5 sur la figure 1 (échelle:
d) Représenter le vecteur D4 = 5 -3
2. a)
Donner l'expression du vecteur accélération 4 au point G4, en fonction de D4 et t.
b) Calculer la valeur de a4 en unité SI.
3. a) Le constructeur qualifie cette accélération
de « latérale ». Quel autre qualificatif utiliserait-on plutôt en physique ?
b) Peut-on considérer que, pour les passagers de la
voiture, l'effet de cette accélération est négligeable devant celui de
I'accélération de la pesanteur ?
1.
On
considère la caisse de
a) Faire l'inventaire des forces qui
s'exercent sur la caisse.
b) Trouver la relation entre |D0|, M, k et g en appliquant le principe d'inertie.
2. Quatre essayeurs, de masse totale
m =
a) En utilisant le résultat de la question 1.b)
établir la relation k = mg/h
.
b) Déterminer la dimension de k.
c) Calculer la valeur numérique de k.
3.
On note T0 la période propre des oscillations de la caisse de
masse m1 =
4. Afin que le confort des passagers soit
optimal lors du passage sur une bosse, les réglages de la suspension sont
prévus pour que la caisse retrouve sa position initiale sans osciller.
a) L'essayeur prend le volant d'une Logan neuve et
roule sur une bosse. Quel est le nom du régime oscillatoire observé ?
b) L'essayeur recommence l'expérience avec une Logan
ayant déjà beaucoup roulé. Ses amortisseurs étant « fatigués », l'amortissement
de la caisse est moins important. Prévoirle comportement de la caisse dans ce
cas en utilisant le vocabulaire adapté.
5.
A nouveau au volant de
L'essayeur constate que l'amplitude des oscillations
est beaucoup plus importante qu'au passage d'une seule bosse, la voiture
devient plus difficile à contrôler et le conducteur doit ralentir.
a) Quel nom donne-t-on au phénomène
observé par l'essayeur ?
b) Quelle doit être la période des
excitations pour que ce phénomène ait lieu ?
c)
Cette période est la durée Dt que met la voiture pour passer
d'une bosse à l'autre. Calculer la distance D nécessaire pour que le phénomène
ait lieu à une vitessev =
d) Ainsi construit, ce ralentisseur devrait obliger
les conducteurs trop rapides à ralentir pour respecter la vitesse de
(On ne tentera pas l'expérience !)
PARTIE B : « L'injecteur par rampe commune »
Malgré
les tarifs modérés de
On peut schématiser cet injecteur par un long tube
creux, percé à son
extrémité intérieure d'un très petit trou bouché par une aiguille. C'est par ce
trou que pourra sortir le gazole lorsque l'aiguille sera déplacée vers le
haut.Pour déplacer cette aiguille métallique vers le haut, on utilise une
bobine qui, lorsqu'elle est traversée par un courant électrique, se comporte
comme un aimant et attire alors l'aiguille à elle. Dès que le courant est
coupé, l'aiguille reprend sa position initiale et bouche à nouveau le
trou.
Un
laboratoire de recherche d'un constructeur concurrent demande à un technicien d'étudier les
caractéristiques de cette bobine.
I - Prévision d'un dipôle
bobine-conducteur ohmique :
Pour préparer un protocole
d'étude de la bobine de l'injecteur, le technicien choisit d'abord une bobine,
d'inductance L et de résistance interne r connues.
Il réalise ensuite le
circuit ci-contre où l'interrupteur est au départ fermé.
On rappelle que la tension aux bornes de la bobine
est:
uL(t) = L. + r.i
Données:
E = 6,0 V; L = 0,94 H ;
R0 =150 W; r =
20 W.
Montrer que I0 = E/(Ro+r).
3.
Le technicien utilise une interface d'acquisition et un capteur de tension
pour suivre l'évolution temporelle de la tension (t), à l'ouverture de l'interrupteur. Un tableur permet alors
de calculer le graphe de l'intensité du courant et de tracer le graphe de son évolution
temporelle donnée sur la figure 2 de l'annexe.
a) A partir de l'allure de la courbe i(t) de la
figure 2, préciser le rôle de la bobine dans ce circuit.
On note t =
L/(Ro+r) la constante de temps de ce circuit.
b) Montrer que t a la dimension
d'un temps.
c) Calculer t.
d) Mesurer sur le graphique l'intensité i(t) pour
t = t.
Le technicien utilise
maintenant la bobine de l'injecteur afin de déterminer son inductance L' et sa
résistance r' .
Il réalise avec cette bobine le circuit de l'étude
précédente (E = 6,0 V; R0= 150 W) et il effectue
une nouvelle acquisition comme à la question I-3.
A
l'instant t0 = 0, il ouvre l'interrupteur et obtient le tracé donné
sur
A l'aide de l'étude
précédente et du graphique de la figure 3, déterminer :
1. La résistance interne r' de la
bobine (on rappelle que I'0 = E/.(Ro+r’)).
b)
Déterminer l'inductance L' de la bobine.
EXERCICE
I ANNEXE A RENDRE AVEC
Figure
1
Figure 3 Figure 2