Corrigé

Un pendule élastique est constitué d'un mobile de masse m = 80 g pouvant se déplacer sur un banc à coussin d'air horizontal. Ce mobile est attaché à un point fixe par un ressort de masse négligeable à spires non jointives, de raideur k. La position du mobile est repérée par l'abscisse x sur l'axe (O, ). A l'équilibre, la position du centre d'inertie G coïncide avec le point O, origine des abscisses.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III.1 Etude de l'oscillateur parfait (non amorti)

 

Dans cette partie, on considère que le mobile n'est soumis à aucune force de frottement.

III.1.a – Indiquer l'expression vectorielle de la force de rappel du ressort en fonction de l'abscisse x du centre d'inertie du mobile et de vecteur unitaire.

 

III.1.b – Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur le mobile. Reproduire le schéma ci-dessus et représenter ces forces.

 

III.1.c – A l'aide de la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement (relation entre l'abscisse x(t) et ses dérivées par rapport au temps).

 

lll.1.d – Un dispositif d'enregistrement de la position x du mobile permet de mesurer la valeur T₀ de la période du mouvement : T₀ = 0,20 s. Quelle est la valeur numérique de la raideur k

  du ressort sachant que   T₀ = 2p.(m/k)^1/2 ?

III.2 - Etude de l'oscillateur avec amortissement

Le dispositif est modifié et les frottements deviennent plus importants. L'équation différentielle du mouvement a maintenant l'expression suivante : a + a.v + b.x = 0

a =  est l'accélération de G,  v =  sa vitesse.

 

III.2. a - A l'aide de l'analyse dimensionnelle, déterminer les unités de a et b dans le système      international (S.I.).

  On a pu déterminer que a = 60 S.l. et b = 1,00.10³ S.l.

 

III.2. b - La méthode numérique itérative d'Euler permet de résoudre cette équation différentielle. Un extrait de feuille de calcul pour cette résolution est représenté ci-après :

 

 

 

Calculer la valeur numérique de l'accélération a₇ à l'instant t₇ = 0,07 s à l'aide de l'équation différentielle.

 

III.2. c - Calculer les valeurs de la vitesse v₈ et de l'abscisse x₈ à l'instant t₈ = 0,08 s en utilisant la méthode d'Euler.

 

III.2. d - Tracer la courbe donnant l'abscisse x en fonction du temps sur le papier millimétré à rendre avec la copie.

  Echelles : 1 cm pour t = 0,01 s et 1 cm pour x = 0,002 m.

 

III.2. e - Quels sont les noms des deux régimes possibles d'un oscillateur ?

La courbe précédente permet-elle d'affirmer dans quel régime se trouve l'oscillateur étudié ?